Persamaan Eksponen

Persamaan Eksponen Persamaan eksponen adalah persamaan yang eksponennya memuat peubah. Contoh : 4x - 2x - 6 = 0 23x-2 = 128 Persamaan eksponen berbentuk ap = aq Jika a > 0 ; a ≠ 1 dan ap = aq maka p = q Contoh : Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan 23x-2 = 128 5x2 + 6x - 42 = 3125 12 - x 42x - 18x + 4 = 0 Jawab : 23x-2 = 128 23x-2 = 27 3x - 2 = 7 3x = 9 x = 3 5x2 + 6x - 42 = 3125 12 - x 5x2 + 6x - 42 = 55(12 - x) x2 + 6x - 42 = 5(12 - x) x2 + 6x - 42 = 60 - 5x x2 + 11x - 102 = 0 (x + 17)(x - 6) = 0 x = -17 atau x = 6 42x - 18x + 4 = 0 Untuk menyelesaikan persamaan diatas kita misalkan a = 2x sehingga : 42x - 18x + 4 = 0 2.22x - 9.2 x + 4 = 0 2.(2x)2 - 9.2x + 4 = 0 2a2 - 9a + 4 = 0 (2a - 1)(a - 4) = 0 a = ½ atau a = 4 Untuk a = ½ 2x = ½ 2x = 2-1 x = -1 Untuk a = 4 2x = 4 2x = 22 x = 2 Jadi Hp = {-1, 2} Persamaan eksponen berbentuk af(x) = b f(x) Bilangan pokok ruas kiri tidak sama dengan bilangan pokok ruas kanan, sedangkan pangkat ruas kiri sama dengan pangkat ruas kanan. Ruas kiri akan sama dengan ruas kanan jika pangkatnya nol (0). Jika af(x) = b f(x) maka f(x) = 0 dengan (a > 0 ; b > 0 ; a ≠ 1; b ≠ 1) Contoh : Carilah semua x yang memenuhi 25.5 2x - 5 = 3 2x - 3 Jawab : 25.52x - 5 = 3 2x - 3 52. 52x - 5 = 3 2x - 3 52x - 5 +2 = 3 2x - 3 52x - 3 = 32x - 3 2x - 3 = 0 2x = 3 x = 3/2 Persamaan eksponen berbentuk (h(x))f(x) = (h(x))g(x) Untuk menyelesaikan persamaan ini kita harus melihat semua kemungkinan yaitu : Jika h(x) = 0, maka haruslah f(x) > 0 dan g(x) > 0 karena nol berpangkat nol atau berpangkat negatif tidak didefinisikan. Jika h(x) ≠ 0 maka (h(x))g(x) ≠ 0. Maka kita dapat membagi kedua ruas dengan (h(x))g(x) sehingga menjadi: (h(x))f(x) : (h(x))g(x) = (h(x))g(x) : (h(x))g(x) (h(x))f(x) - g(x) = 1 Dari bentuk terakhir ini dapat dipenui kemungkinan berikut Jika h(x) = 1 maka f(x) dan g(x) tidak memberikan syarat apapun sebab satu berpangkat sembarang bilangan terdefinisi dan hasilnya satu. Jika h(x) = -1 maka f(x) - g(x) haruslah genap sebab -1 berpangkat ganjil hasilnya bukan satu. f(x) - g(x) genap sama artinya dengan f(x) dan g(x) keduanya genap atau keduanya ganjil Jika h(x) ≠ 1 maka haruslah f(x) = g(x) Dengan demikian dapat disimpulkan : Penyelesaian persamaan (h(x))f(x) = (h(x))g(x) adalah semua x yang memenuhi persamaan: h(x) = 0 dengan syarat f(x) > 0 dan g(x) > 0 h(x) = 1 h(x) = -1 dengan syarat f(x) dan g(x) keduanya ganjil atau keduanya genap h(x) ≠ 0 : h(x) ≠ 1 dan f(x) = g(x) Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian dari (x - 5)x2 - 4 = (x - 5)2 - x Jawab : h(x) = 0 ⟺ x - 5 = 0 ⟺ x = 5 Syarat x2 - 4 > 0 dan 2 - x > 0 Substitusikan x - 5 52 - 4 > 0 dan 2 - 5 > 0 (tidak memenuhi) Ini berarti x = 5 bukan himpunan penyelesaian. h(x) = 1 ⟺ x - 5 = 1 ⟺ x = 6 Tidak memerlukan syarat sehingga x = 6 merupakan himpunan penyelesaian. h(x) = -1 ⟺ x - 5 = -1 ⟺ x = 4 Substitusikan x = 4 pada f(x) dan g(x) 42 - 4 = genap dan 2 - 4 = genap Karena keduanya genap maka x - 4 merupakan himpuna penyeelesaian. f(x) = g(x) ⟺ x2 - 4 = 2 - x ⟺ x2 + x - 6 = 0 ⟺ (x + 3)(x - 2) = 0 ⟺ x = -3 atau x = 2 Setelah disubstitusikan x = -3 atau x = 2 ke dalam h(x) diperoleh h(x) ≠ 0 : h(x) ≠ 1 Ini berarti x = -3 atau x = 2 merupakan himpunan penyelesaian. Jadi himpunan penyelesaian persamaan di atas adalah {-3, 2, 4, 6}