Persamaan Logaritma

Persamaan logaritma adalah suatu persamaan yang peubahnya merupakan merupakan numerus atau bilangan pokok logaritma. Contoh : Tentukan semua x yang memenuhi persamaan 2log x = 3 Jawab : Dari definisi logaritma kita dapatkan 2log x = 3 ⟺ 23= x Jadi x = 23 Dengan cara lain kita dapat mengubah ruas kanan menjadi bentuk logaritma dengan bilangan pokok yang sama dengan bilangan pokok ruas kiri yaitu: 2log x = 3 ⟺ 2log x = 2log 23 Dari cara pertama diperoleh x = 23. Sehingga kita sesuikan dengan bentuk terakhir kita dapat menghapus tanda logaritma. Secara umum kita hal diatas dapat dituliskan : Jika alog f(x) = alog p dengan syarat a > 0 ; a ≠ 1 maka f(x) = p dengan syarat f(x) > 0 Jadi untuk menyelesaikan persamaan logaritma kita berusaha membuat bentuk ruas kanan dan ruas kiri dalam logaritma dengan bilangan pokok yang sama. Contoh Tentukanlah himpunan penyelesaian dari 2log x + 2log (x + 1) = 2log 12 2log (x+1) = 4log (5x + 1) Jawab : 2log x + 2log (x + 1) = 2log 12 2log x(x + 1) = 2log 12 x(x + 1) = 12 x2 + x - 12 = 0 (x + 4)(x - 3) = 0 x = -4 atau x = 3 Hasil ini harus diuji pada numerus bentuk-bentuk logaritma yaitu: 2log x dan 2log (x + 1) Untuk x = -4 diperoleh 2log -4 dan 2log (-4 + 1) tidak terdefinisi Untuk x = 3 diperoleh 2log 3 dan 2log (3 + 1) terdefinisi Jadi himpunan penyelesaiannya {3} Akan tetapi kalau soal mula-mula adalah : 2log x(x + 1) = 2log 12 Maka hasil x = -4 dan x = 3 merupakan penyelesaian, karena syarat numerus harus positif terpenuhi. Pada contoh ini bilangan pokok logaritma berbeda. Dengan sifat : alog b = nlog b : nlog a maka ruas kanan dapat diubah sebagai berikut: 2log (x+1) = 4log (5x + 1) 2log (x+1) = 2log (5x + 1) : 2log 4 2log (x+1) = 2log (5x + 1) : 2 2log (x+1)2 = 2log (5x + 1) (x+1)2 = (5x + 1) x2 + 2x + 1 = (5x + 1) x2- 3x = 0 Dengan cara memfaktokan diperoleh x = 0 atau x = 3 Karena keduanya memenuhi syarat numerus maka himpunan penyelesaiannya adalah {0, 3}